Question

5．双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线l过F₂且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b=$\sqrt{3}$，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A点纵坐标，由△F₁AB是等边三角形，可得tan∠AF₁F₂=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{{b}^{2}}{2\sqrt{1{+b}^{2}}}$，从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；
（2）写出直线l的方程y-0=k（x-2），即y=kx-2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k值．

解答 解：（1）若l的倾斜角为$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等边三角形，
把x=c=$\sqrt{{1+b}^{2}}$代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b²，
由tan∠AF₁F₂=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{b}^{2}}{2\sqrt{1{+b}^{2}}}$，求得b²=2，b=$\sqrt{2}$，
故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±$\sqrt{2}$x，
即双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x．
（2）设b=$\sqrt{3}$，则双曲线为 x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，F₂（2，0），
若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y-0=k（x-2），即y=kx-2k，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
由直线与双曲线有两个交点，则3-k²≠0，即k$≠±\sqrt{3}$．
△=36（1+k²）＞0．
x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，x₁•x₂=$\frac{{4k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$．
∵|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$ 
=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•$\sqrt{{（\frac{{4k}^{2}}{{k}^{2}-3}）}^{2}-4•\frac{{4k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}}$=4，
化简可得，5k⁴+42k²-27=0，解得k²=$\frac{3}{5}$，
求得k=$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴l的斜率为$±\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．