Question

20．函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；　②若存在[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称函数f（x）为“成功函数”．若函数f（x）=log_c（c^4x+3t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则t的取值范围为（0，$\frac{1}{12}$）．

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．

解答 解：若c＞1，则函数y=c^4x+3t为增函数，y=log_cx，为增函数，∴函数f（x）=log_c（c^4x+3t）为增函数，
若0＜c＜1，则函数y=c^4x+3t为减函数，y=log_cx，为减函数，∴函数f（x）=log_c（c^4x+3t）为增函数，
综上：函数f（x）=log_c（c^4x+3t）为增函数．
若函数f（x）=log_c（c^4x+3t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则
$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=2a}\\{f（b）=2b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（{c}^{2a}）^{2}-{c}^{2a}+3t=0}\\{（{c}^{2b}）^{2}-{c}^{2b}+3t=0}\end{array}\right.$，
即c^2a，c^2b是方程x²-x+3t=0上的两个不同的正根，
则$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-12t＞0}\\{3t＞0}\end{array}\right.$，解得0＜t＜$\frac{1}{12}$．
故答案为：（0，$\frac{1}{12}$）．

点评 本题考查函数的值域，主要考查指数函数和对数函数的运算性质，判断函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．