Question

6．将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为$\frac{{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则$\sqrt{3}$a=2r，进而可得答案．

解答 解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，
设该小球的半径为r，
则r+1+$\sqrt{（r+1）^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，
若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，
则：$\sqrt{3}$a=2r，
解得：a=$\frac{{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是空间球与球之间的位置关系，正三棱锥的高与棱长的关系，难度较大．