Question

1．直线y=kx+m与椭圆有$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$两个不同的交点M、N
（1）若直线l过椭圆的左焦点F，且线段MN的中点P在直线x+y=0上，求直线l的方程
（2）若k=1，且以线段MN为直径的圆过点A（1，0），求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l过椭圆的左焦点F，求出直线l的方程y=kx+k，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和y₁+y₂，根据MN的中点的横坐标在直线x+y=0上求出k的值，问题得以解决；
（2）当k=1时，直线l的方程y=x+m，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂求出y₁+y₂，根据MN的中点的为圆心，以及弦长公式求出|MN|的距离，再根据线段MN为直径的圆过点A（1，0），得到关于m的方程，问题得以解决．

解答 解：（1）∵椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
∴c²=a²-b²=2-1=1，
∴c=1，
∴椭圆的左焦点F为（-1，0），
∵直线l过椭圆的左焦点F，
∴0=-k+m，
即k=m，
∴y=kx+k，
联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+k}\end{array}\right.$，消掉y得到（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴△=（4k²）²-4（1+2k²）（2k²-2）=8（k²+1）＞0
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=-k•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+k，
∵线段MN的中点P在直线x+y=0上，
∴-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-k•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+k=0，即2k²+4k-1=0，解得k=$\frac{-2±\sqrt{6}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$x+$\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$，或y=$\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$+$\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$，
即为（2+$\sqrt{6}$）x+2y+2+$\sqrt{6}$．或（2-$\sqrt{6}$）x+2y+2-$\sqrt{6}$．
（2）当k-1时，联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消掉y得到3x²+4mx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=$\frac{8}{3}$-$\frac{8{m}^{2}}{9}$
根据弦长公式得到|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{3-{m}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3-{m}^{2}}$，
∵x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，
∴y₁+y₂=-$\frac{m}{3}$，
∴线段MN的中点坐标为（-$\frac{2m}{3}$，-$\frac{m}{6}$），
∵线段MN为直径的圆过点A（1，0），
∴$\sqrt{（1-\frac{2}{3}m）^{2}+（\frac{m}{6}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3-{m}^{2}}$，
整理得到11m²-16m-4=0，
解得m=$\frac{8±6\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．