Question

11．一箱中放了8个形状完全相同的小球，其中2个红球，n（2≤n≤4）个黑球，其余的是白球，从中任意摸取2个小球，两球颜色相同的概率是$\frac{1}{4}$．
（I）求n的值；
（Ⅱ）现从中不放回地任意摸取一个球，若摸到红球或者黑球则结束摸球，用ξ表示摸球次数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“从箱中任意摸取两个小球，两球颜色相同”为事件A，由已知列出方程，由此能求出n．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及Eξ．

解答 解：（Ⅰ）设“从箱中任意摸取两个小球，两球颜色相同”为事件A，
由题意P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}+{C}_{6-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
解得n=3．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{5}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{8}×\frac{5}{7}$=$\frac{15}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{1}{6}×1$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

Eξ=$1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．