Question

6．已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且经过点P（2，1），则该双曲线的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；渐近线方程是y=±x．

Answer 1

分析 由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x²-y²=λ（λ≠0），把点P的坐标代入即可得出双曲线的标准方程和渐近线方程．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
可得a=b，
则双曲线为等轴双曲线，
故设所求双曲线的标准方程为x²-y²=λ（λ≠0），
又点P（2，1）在双曲线上，则λ=4-1=3，
则所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
渐近线方程为y=±x．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，y=±x．

点评 本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的离心率公式，熟练掌握等轴双曲线的性质是解题的关键．