Question

2．已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n+13；
（3）求{（30-a_n）•2ⁿ}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，且d不为零，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d=-2，进而得到所求数列的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，注意首项为25，公差为-6，项数为n+5，计算即可得到；
（3）求得（30-a_n）•2ⁿ=（2n+3）•2ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，且d不为零，
a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列，可得
a₁₁²=a₁a₁₃，即为（25+10d）²=25（25+12d），
即有d²=-2d，解得d=-2（0舍去），
可得a_n=a₁+（n-1）d=25-2（n-1）=27-2n；
（2）a₁+a₄+a₇+…+a_3n+13=25+19+13+…+（27-6n-26）
=25+19+13+…+（1-6n）=$\frac{1}{2}$（25+1-6n）（n+5）=-3n²-2n+65；
（3）（30-a_n）•2ⁿ=（2n+3）•2ⁿ，
则前n项和T_n=5•2+7•2²+9•2³+…+（2n+3）•2ⁿ，
2T_n=5•2²+7•2³+9•2⁴+…+（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=10+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=10+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
化简可得前n项和为（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．