Question

10．已知y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+2x，则满足f（f（a））=$\frac{1}{2}$的实数a的个数为8．

Answer 1

分析 令f（a）=x，则f[f（a）]=$\frac{1}{2}$转化为f（x）=$\frac{1}{2}$．先解f（x）=$\frac{1}{2}$在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=$\frac{1}{2}$在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答 解：令f（a）=x，则f[f（a）]=$\frac{1}{2}$变形为f（x）=$\frac{1}{2}$
当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1=$\frac{1}{2}$，解得x₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）=$\frac{1}{2}$的解为x₃=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₄=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
综上所述，f（a）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当a≥0时，
f（a）=-（a-1）²+1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程无解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，方程有1解；
故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，
综上所述，满足f[f（a）]=$\frac{1}{2}$的实数a的个数为8，
故答案为：8．

点评 本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．