Question

17．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，则△ABC的面积等于（　　）

• A． $\frac{{25\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由条件和平方关系求出cosC，由余弦定理列出方程求出b的值，利用条件和余弦定理确定b的值，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：在钝角△ABC中，∵a=7，c=5，sinC=$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，
∴A＞C，C是锐角，且cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{11}{14}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
∴25=49+${b}^{2}-2×7×b×\frac{11}{14}$，则b²-11b+24=0，
解得b=3或8，
∵△ABC是钝角三角形，∴当b=8时，角B是钝角，
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{49+25-64}{2×7×5}$=$\frac{1}{7}＞$0，
则b=8舍去，同理验证b=3符合条件，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×7×3×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查余弦定理，以及利用余弦定理判断是否是钝角的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题．