Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=3，a_n+2=（2+cosnπ）（a_n+1）-3（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}，n=2k（{k∈{N^*}}）\\{a_n}，n=2k-1（{k∈{N^*}}）\end{array}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_2n．

Answer 1

分析 （I）讨论当n=2k-1（k∈N^*），当n=2k（k∈N^*），化简等式，可得数列{a_n}的奇数项为首项为a₁=1，公差为-2的等差数列；偶数项为首项a₂=3，公比为3的等比数列．运用等差数列和等比数列的通项公式即可得到所求数列的通项，注意运用分段形式；
（Ⅱ）化简b_n，当n=2k时，可得b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列的求和公式和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（I）当n=2k-1（k∈N^*），a_2k+1=（2+cos（2k-1）π）（a_2k-1+1）-3，
即为a_2k+1=a_2k-1-2；
当n=2k（k∈N^*），a_2k+2=（2+cos（2kπ））（a_2k+1）-3，
即为a_2k+2=3a_2k．
则数列{a_n}的奇数项为首项为a₁=1，公差为-2的等差数列；
偶数项为首项a₂=3，公比为3的等比数列．
即有a_2k=a₂•3^k-1=3^k；a_2k-1=a₁+（k-1）•（-2）=3-2k，
可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n}{2}，}n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2-n，n=2k-1，k∈{N}^{*}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{n}^{2}（n+2）}=\frac{1}{2n（n+2）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}），n=2k，K∈{N}^{*}}\\{2-n，n=2k-1，k∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
则T_2n=（b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+b₆+…+b_2n）
=$\frac{n（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}{2}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2n+2}$）
=$\frac{n（1+3-2n）}{2}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2n+2}$）
=2n-n²+$\frac{n}{8n+8}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用分类讨论思想方法，运用等差数列和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：注意运用分组求和，结合等差数列的求和公式和裂项相消求和，属于中档题．