Question

20．求证：ln（2³+1）+ln（3³+1）+ln（4³+1）+…+ln（n³+1）＜$\frac{1}{4}$+3lnn!（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 求得f（x）=lnx-x+1的导数，单调区间，可得f（x）的最大值，lnx≤x-1，将x换为x+1，可得ln（1+x）≤x．由n≥2，n∈N^*，则有ln（$\frac{1}{{n}^{3}}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{3}}$，运用对数函数的运算性质和不等式的性质，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得证．

解答 证明：由f（x）=lnx-x+1的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有f（x）在x=1处取得最大值0，即f（x）≤0，即lnx≤x-1，
将x换为x+1，可得ln（1+x）≤x．
由n≥2，n∈N^*，
则有ln（$\frac{1}{{n}^{3}}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{3}}$，
即为ln（1+n³）-lnn³＜$\frac{1}{{n}^{3}}$，
即有ln（1+n³）＜lnn³+$\frac{1}{{n}^{3}}$=3lnn+$\frac{1}{{n}^{3}}$，
则有ln（2³+1）+ln（3³+1）+ln（4³+1）+…+ln（n³+1）
＜3（ln2+ln3+…+lnn）+（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$）=3lnn!+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$，
由$\frac{1}{{n}^{3}}$≤$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，可得$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$＜$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜$\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式ln（1+x）≤x，对数函数的运算性质和不等式的性质，放缩法和等比数列的求和公式，考查推理和运算能力，属于中档题．