Question

8．过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的一条直线l和此抛物线相交，两个交点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则：
（1）x₁，x₂的值为多少？
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$
（3）设三角形AOB的面积为S，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，写出函数S=S（θ）的分析式，并求出该函数的定义域和值域．

Answer 1

分析 （1）设直线方程为x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2mpy-p²=0，利用韦达定理，可得结论；
（2）利用向量的数量积公式，可得结论；
（3）利用向量的数量积公式，三角形的面积公式，可函数S=S（θ）的解析式，并求出该函数的定义域和值域．

解答 解：（1）设直线方程为x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2mpy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，
∴x₁•x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$；
（3）由（2）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=-$\frac{3{p}^{2}}{4}$，
∴|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|=-$\frac{3{p}^{2}}{4cosθ}$，
∴S=S（θ）=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sinθ=-$\frac{3}{8}$p²tanθ，
∵-$\frac{3{p}^{2}}{4cosθ}$＞0，∴cosθ＜0，∴$\frac{π}{2}$＜θ＜π，
又根据对称性，直线垂直于x轴时，tan$\frac{θ}{2}$=2，∴tanθ=-$\frac{4}{3}$，
∴θ=π-arctan$\frac{4}{3}$
∴函数的定义域为（$\frac{π}{2}$，π-arctan$\frac{4}{3}$），
∵tanθ≤-$\frac{4}{3}$，
∴S≥$\frac{1}{2}$p²，∴值域为[$\frac{1}{2}$p²，+∞）．
故答案为：-$\frac{3{p}^{2}}{4}$．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系的综合运用，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．