Question

18．已知A、B为抛物线C：y²=4x上的不同的两点，且$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，则$|{\overrightarrow{AB}}|$=（　　）

• A． $\frac{25}{3}$
• B． $\frac{25}{8}$
• C． $\frac{100}{9}$
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，可得直线经过焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．设直线AB的方程为：y=k（x-1）．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算、焦点弦长公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，
∴直线经过焦点F（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．
设直线AB的方程为：y=k（x-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$①，x₁x₂=1②．
∵$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，
∴x₁-1+4（x₂-1）=0．
∴x₁+4x₂=5③．
联立①②③解得x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$，k²=$\frac{16}{9}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{25}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．