Question

3．已知n∈N^*，n≥2，求证：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）（n∈N^*，n≥2），运用裂项相消求和和放缩法，结合不等式的性质即可得证．

解答 证明：由$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$
=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）（n∈N^*，n≥2），
可得1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）
=2（$\sqrt{n}$-1）＜2$\sqrt{n}$．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用裂项相消和放缩法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．