Question

15．设n＞1且n∈N⁺，求证：$\frac{1}{2}＜\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}＜1$．

Answer 1

分析 设f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，求得f（n+1），作差，即可判断f（n）递增，可得f（n）＞f（1）=$\frac{1}{2}$；再由f（n）中各项都小于$\frac{1}{n}$，累加即可得到f（n）＜1，进而得证．

解答 证明：设f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，
可得f（n+1）=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$，
即有f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$＞0，
即有f（n）在n＞1，n∈N^*递增，
可得f（n）＞f（1）=$\frac{1}{2}$；
又$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{n}$，…，$\frac{1}{2n}$＜$\frac{1}{n}$，
可得f（n）＜n•$\frac{1}{n}$=1，
综上可得，$\frac{1}{2}$＜f（n）＜1．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用数列的单调性和不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．