Question

7．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据递推式计算，猜想；
（2）检验n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，证明当n=k+1时猜想也成立．

解答 解：（1）a₂=$\frac{2×1}{2+1}=\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{2×\frac{2}{3}}{2+\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2×\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{5}$．
猜想：a_n=$\frac{2}{n+1}$．
证明：（2）当n=1时，a₁=$\frac{2}{1+1}=1$，结论成立，
假设n=k时猜想成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
则a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{2+{a}_{k}}$=$\frac{\frac{4}{k+1}}{2+\frac{2}{k+1}}$=$\frac{4}{2k+4}$=$\frac{2}{k+2}$=$\frac{2}{（k+1）+1}$．
即当n=k+1时，猜想成立．
∴对一切n∈N，都有a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 此题主要考查归纳法的证明，要熟练掌握数学归纳法的一般步骤，属于中档题．