Question

16．当函数y=a^x（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，求a的值．

Answer 1

分析 函数y=a^x（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点即他们是相切的情况．

解答 解：有题意：设在点（x₀，y₀）处y=a^x（a＞1）与函数y=x相切，
∵y′=a^xlna，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{{x}_{0}}lna=1}\\{{a}^{{x}_{0}}={x}_{0}}\end{array}\right.$，
∴lna=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴a=e${\;}^{\frac{1}{{x}_{0}}}$     
把a=e${\;}^{\frac{1}{{x}_{0}}}$代入a${\;}^{{x}_{0}}$lna=1，

解得：a=e${\;}^{\frac{1}{e}}$．

点评 本题主要考查直线与指数函数的图象相切的情况，属于基础题，就是解方程难了一点．