Question

17．如图，已知直线l与抛物线y²=2px相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M（1，0）线段AB中点坐标（2，1）
（1）求抛物线方程；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用点差法，结合点M（1，0）线段AB中点坐标（2，1），求出p，可得抛物线方程；
（2）直线AB方程x=y+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|，求△AOB的面积．

解答 解：（1）y₁²=2px₁ ①，y₂²=2px₂②，
两式相减：y₁²-y₂²=2px₁-2px₂得（y₁+y₂）k_AB=2p，代入解得p=1，…（5分）
∴抛物线方程y²=2x； …（6分）
（2）直线AB方程x=y+1，代入抛物线方程y²=2x得y²-2y-2=0①
y₁、y₂是此方程的两根，y₁+y₂=2，y₁y₂=-2，…（8分）
于是S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOB的面积为$\sqrt{3}$． …（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．