Question

12．已知抛物线y²=ax（a＞0），经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．

Answer 1

分析 依题意，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+$\frac{a}{4}$，利用抛物线的定义结合题意可求得a，从而可求得抛物线方程．

解答 解：依题意，抛物线的焦点坐标为（$\frac{a}{4}$，0），则直线方程为y=-x+$\frac{a}{4}$．设直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x₁+$\frac{a}{4}$+x₂+$\frac{a}{4}$
即x₁+$\frac{a}{4}$+x₂+$\frac{a}{4}$=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线和直线的交点，
由直线与抛物线消去y，得x²-$\frac{3a}{2}$x+$\frac{{a}^{2}}{16}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3a}{2}$．
将其代入①得a=4，
∴所求抛物线方程为y²=4x．

点评 本题考查抛物线的标准方程，突出抛物线定义的应用，考查方程组思想与化归思想的综合运用，考查分析与运算能力，属于中档题．