Question

4．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．
（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N₁；
（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；
（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N₁．
（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．
（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2，
∴总人数N=$\frac{8}{0.2}$=40人．
∵[30，35）这组的频率为：1-（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，
[30，35）这组的参加者人数N₁为：40×0.3=12人．
（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”，
∵年龄在[30，35）之间的人数为12，
∴P（B）=1-$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{7}{22}$，
记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，
∵年龄在[35，40）之间的人数为8，
∴P（C）=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{13}{28}$，
∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）=$\frac{7}{22}×\frac{13}{28}$=$\frac{13}{88}$．
（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，
∴ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式的合理运用．