Question

16．已知抛物线C：x²=8y．AB是抛物线C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ．

Answer 1

分析 设AB：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系，从而解决问题

解答 证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=\frac{1}{8}{x}^{2}}\end{array}\right.$得到x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16，
抛物线方程为y=$\frac{1}{8}$x²，
∴y′=$\frac{1}{4}$x
∴过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k₁=$\frac{1}{4}$x₁，k₂=$\frac{1}{4}$x₂，
∴k₁•k₂=$\frac{1}{4}$x₁•$\frac{1}{4}$x₂=-1，
∴AQ⊥BQ

点评 本题考查抛物线的定义和性质得应用和导数的几何意义，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．．