Question

5．已知x²+y²=a，m²+n²=b（a＞0，b＞0），求证：mx+ny≤$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 运用三角换元，令x=$\sqrt{a}$cosα，y=$\sqrt{a}$sinα，设m=$\sqrt{b}$cosβ，n=$\sqrt{b}$sinβ，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，结合基本不等式即可得证．

解答 证明：由x²+y²=a，（a＞0），
设x=$\sqrt{a}$cosα，y=$\sqrt{a}$sinα，
由m²+n²=b（b＞0），
设m=$\sqrt{b}$cosβ，n=$\sqrt{b}$sinβ，
可得mx+ny=$\sqrt{ab}$（cosαcosβ+sinαsinβ）
=$\sqrt{ab}$cos（α-β）≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用三角换元法，结合两角差的余弦公式和余弦函数的值域，以及基本不等式，考查推理能力，属于中档题．