Question

14．已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
（1）证明：f（x）在（0，1）上是增函数
（2）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1，n=1，2，3，…；
（3）证明：${a_{n+1}}＜\frac{1}{6}{a_n}^3$．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），可得a₃-a₂＜0，从而可得结论；
（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可；
（3）设函数$g（x）=sinx-x+\frac{1}{6}{x^3}，0＜x＜1$，求导判断函数的单调性，即可证明．

解答 解：（1）因为0＜x＜1时，f'（x）=1-cosx＞0所以f（x）在（0，1）上是增函数，
（2）证明：
①当n=1时，由已知，结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即0＜a_k＜1，
因为f（x）在（0，1）上是增函数，又f（x）在[0，1]上图象不间断，
从而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故当n=k+1时，结论成立．
由①②可知，0＜a_n＜1对一切正整数都成立．
（2）设函数$g（x）=sinx-x+\frac{1}{6}{x^3}，0＜x＜1$，由（1）可知，当0＜x＜1时，sinx＜x．
从而$g'（x）=cosx-1+\frac{x^2}{2}=-2{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}＞-2{（\frac{x}{2}）^2}+\frac{x^2}{2}=0$，所以g（x）在（0，1）上是增函数．
又g（0）=0，所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立．
于是g（a_n）＞0，即$sin{a_n}-{a_n}+\frac{1}{6}{a_n}^3＞0$，故${a_{n+1}}＜\frac{1}{6}a_n^3$．

点评 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．