Question

20．如图，直线l过抛物线y²=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则|AB|等于（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． $4\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 作AM、BN垂直准线于点M、N，根据$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，和抛物线的定义，可得tan∠NCB=2，从而可得直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线的定义，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
∵$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴sin∠NCB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠NCB=2
∴AF的方程为y=2（x-1），
代入y²=4x，可得x²-3x+1=0
∴x₁+x₂=3，
∴|AB|=x₁+x₂+2=5．
故选：A．

点评 本题考查考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．