Question

10．已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为1的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，$AC=\sqrt{2}$，则此三棱锥的体积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由O为球心可得△ABC是直角三角形，AB为球的直径，利用勾股定理求出BC，代入棱锥的体积公式计算体积．

解答 解：∵三棱锥S-ABC的外接球球心在AB上，
∴OS=OA=OB=1，
∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵SO⊥平面ABC，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OS$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．