Question

1．如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，线段AB上点F满足AF=2FB，AB长为12，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DE与平面BCEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明出EF⊥平面BDN，根据面面垂直的判定定理证明出平面BDN⊥平面BCEF，根据BN为平面BDN与平面BCEF的交线，进而推断D在平面BCEF上的射影在直线BN上
，进而推断D在平面BCEF上的射影即为点B，证明出结论．
（Ⅱ）DB⊥底面BCEF，所以∠DEB为DE与平面BCEF所成的角．

解答 （Ⅰ）证明：EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
又∵BN为平面BDN与平面BCEF的交线，
∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
而D在平面BCEF上的射影在BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即为点B，
即BD⊥平面BCEF．
（Ⅱ）解：如图，D在平面BCEF上的射影点为点B，

∴∠DEB为DE与平面BCEF所成的角，
DE=AF=8，NF=2，NE=4，NB=2$\sqrt{3}$，NB⊥NE，
∴BE=2$\sqrt{7}$，DB=$\sqrt{D{E}^{2}-B{E}^{2}}$=6，
∴sin∠DEB=$\frac{DB}{DE}$=$\frac{3}{4}$，
即直线DE与平面BCEF所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了线面垂直，线面平行判定定理及其性质的运用，平面法向量的运用．综合考查了学生分析能力和解题能力．