Question

13．如图，互不相同的点A₁、A₂、…An、…，B_i、B₂、…B_n、…，C_l、C₂、…C_n、…分别在以O为顶点的三棱锥的三条侧棱上，所有平面A_nB_nC_n互相平行，且所有三棱台A_nB_nC_n-A_n+1B_n+1C_n+1的体积均相等，设OA_n=a_n，若a₁=$\sqrt{2}$，a₂=2，则a_n=$\root{3}{8n-2\sqrt{2}n-8+4\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 假设△A_nB_nC_n的面积为S_n，OA_n与平面A_nB_nC_n所成的角为α，利用相似三角形得出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{n}}$=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}}$）²=$\frac{2}{{{a}_{n}}^{2}}$，用S₁，α表示出V${\;}_{O-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$和每个小三棱台的体积V_台，根据V${\;}_{O-{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{3}{S}_{n}{a}_{n}sinα$=（n-1）V_台+V${\;}_{O-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$列出方程解出a_n．

解答 解：设△A_nB_nC_n的面积为S_n，OA_n与平面A_nB_nC_n所成的角为α，则棱锥O-A_nB_nC_n的高为a_nsinα．
∵△A₁B₁C₁∽△A₁B_nC_n，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{n}}$=（$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{{A}_{n}{C}_{n}}$）²，
∵△OA₁C₁∽△OA_nC_n，
∴$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{{A}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{n}}$=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}}$）²=$\frac{2}{{{a}_{n}}^{2}}$，
∴S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}•{S}_{1}}{2}$．
∴V${\;}_{O-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{1}{a}_{1}sinα$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$S₁sinα，V${\;}_{O-{A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}}$=$\frac{1}{3}{S}_{2}{a}_{2}sinα$=$\frac{4}{3}{S}_{1}sinα$，
∴每个小三棱台的体积V_台=V${\;}_{O-{A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}}$-V${\;}_{O-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{4-\sqrt{2}}{3}{S}_{1}sinα$．
∴V${\;}_{O-{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{3}{S}_{n}{a}_{n}sinα$=（n-1）V_台+V${\;}_{O-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．
∴$\frac{1}{3}•$$\frac{{{a}_{n}}^{2}•{S}_{1}}{2}$•a_nsinα=（n-1）•$\frac{4-\sqrt{2}}{3}{S}_{1}sinα$+$\frac{\sqrt{2}}{3}$S₁sinα．
∴a_n³=2（n-1）$•（4-\sqrt{2}）$+2$\sqrt{2}$=8n-2$\sqrt{2}$n-8+4$\sqrt{2}$．
∴a_n=$\root{3}{8n-2\sqrt{2}n-8+4\sqrt{2}}$．
故答案为：a_n=$\root{3}{8n-2\sqrt{2}n-8+4\sqrt{2}}$

点评 本题考查了棱台，棱锥的体积计算，公式推导较复杂，属于中档题．