Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx-$\sqrt{3}$与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆C的长轴长为4．列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：x₁x₂+y₁y₂=0．求解即可．

解答 解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，所以b²=a²-c²=4-3=1，
故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
并整理，得$（1+4{k^2}）{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$．（*）
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$
于是$\frac{8}{{1+4{k^2}}}-\frac{{4{k^2}-3}}{{1+4{k^2}}}=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．