Question

17．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，P是C上一点，Q（-2，y₀）是x轴上方一点，若△PQF是等边三角形，则y₀的值为（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 设P点的坐标为（x₁，y₁），x₁＞0，根据点与点之间的距离公式和抛物线的性质，以及△PQF是等边三角形，得到|PF|=|PQ|，|PF|=|QF|，继而得到y₁=y₀，结合y₁²=8x₁，即可求出x₁的值，代值计算即可．

解答 解：∵抛物线C：y²=8x，
∴焦点F（2，0），准线x=-2，
设P点的坐标为（x₁，y₁），x₁＞0
∴|PF|=x₁+2，
∵|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}+2）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{0}）^{2}}$，|QF|=$\sqrt{{（2+2）}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，
∵△PQF是等边三角形，
∴|PF|=|PQ|，|PF|=|QF|，
∴y₁=y₀，（x₁+2）²=16+y₀²，
∵y₁²=8x₁，
∴（x₁+2）²=16+y₁²=16+8x₁，
解得x₁=6，
∴y₀²=y₁²=8×6=48，
∵P是C上一点，Q（-2，y₀）是x轴上方一点，
∴y₀=4$\sqrt{3}$
故选：A．

点评 本题考查抛物线的性质，两点之间的距离公式，等边三角形的性质，培养了学生的转化能力和运算能力，属于中档题．