Question

9．已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2$\sqrt{2}$的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且AB=9．
（1）求该抛物线的方程；    
（2）求A，B两点坐标．

Answer 1

分析 （1）直线AB的方程是y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），与y²=2px联立，由抛物线定义得AB=x₁+x₂+p=9，求出p，即可求该抛物线的方程；    
（2）利用（1）中的一元二次方程，即可求A，B两点坐标．

解答 解：（1）直线AB的方程是y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），与y²=2px联立，从而有4x²-5px+p²=0，所以x₁+x₂=$\frac{5p}{4}$．
由抛物线定义得AB=x₁+x₂+p=9，
所以p=4，从而抛物线方程是y²=8x．
（2）由题意，A在第四象限，B在第一象限．
由（1），方程为x²-5x+4=0，∴x=1或4，
x=1时，y=-2$\sqrt{2}$；x=4时，y=4$\sqrt{2}$
所以A，B两点坐标为A（1，-2$\sqrt{2}$），B（4，4$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．