Question

4．（1）求证：$已知：a＞0，求证：\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}＞\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$
（2）已知：△ABC的三条边分别为a，b，c．求证：$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$．

Answer 1

分析 （1）运用分析法证明．要证原不等式成立，可移项两边平方，化简整理，即可得证；
（2）要证原不等式成立，可分子常数化，运用不等式的性质和三角形的三边的关系，即可得证．

解答 证明：（1）运用分析法证明．要证原不等式成立，
只需证$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{a+4}$＞$\sqrt{a+6}$+$\sqrt{a+3}$，
两边平方即为2a+9+2$\sqrt{a+5}$•$\sqrt{a+4}$＞2a+9+2$\sqrt{a+6}$•$\sqrt{a+3}$，
即有（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3），即a²+9a+20＞a²+9a+18，
20＞18，显然成立，故原不等式成立；
（2）要证$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$成立，
只需证$1-\frac{1}{1+a+b}＞1-\frac{1}{1+c}$，
只需证$-\frac{1}{1+a+b}＞-\frac{1}{1+c}$，
只需证$\frac{1}{1+a+b}＜\frac{1}{1+c}$，
只需证1+c＜1+a+b，
只需证c＜a+b，
由a，b，c是△ABC的三条边，
可得c＜a+b成立，原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，结合不等式的性质和三角形的三边关系，考查推理能力，属于中档题．