Question

14．设n∈N^*，求证：$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜1．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和和放缩法，结合不等式的性质，即可得证．

解答 证明：由$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$＜1．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用裂项相消和放缩法证明，考查推理和运算能力，属于中档题．