Question

2．设a≥0，b≥0，且a≠b，求证：对于任意正数p都有[$\frac{a+pb}{p+1}$]²＜$\frac{{a}^{2}+p{b}^{2}}{p+1}$．

Answer 1

分析 由a≥0，b≥0，且a≠b，p＞0，作差可得[$\frac{a+pb}{p+1}$]²-$\frac{{a}^{2}+p{b}^{2}}{p+1}$=-$\frac{p}{（p+1）^{2}}$（a-b）²＜0，即可得证．

解答 证明：由a≥0，b≥0，且a≠b，p＞0，
可得[$\frac{a+pb}{p+1}$]²-$\frac{{a}^{2}+p{b}^{2}}{p+1}$=$\frac{{a}^{2}+{p}^{2}{b}^{2}+2abp-（p+1）（{a}^{2}+p{b}^{2}）}{（p+1）^{2}}$
=$\frac{1}{（p+1）^{2}}$（a²+p²b²+2abp-a²-pb²-pa²-p²b²）
=$\frac{1}{（p+1）^{2}}$（2abp-pb²-pa²）
=-$\frac{p}{（p+1）^{2}}$（a-b）²＜0，
即有对于任意正数p都有[$\frac{a+pb}{p+1}$]²＜$\frac{{a}^{2}+p{b}^{2}}{p+1}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．