Question

7．已知抛物线y²=2px（p＞0）存在关于直线x+y=1对称的相异两点A、B，则实数p的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （0，$\frac{2}{3}$]
• D． （0，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为抛物线上关于直线x+y=1对称的两点，C（x₀，y₀）为AB的中点．设AB的直线方程为y=kx+b．由直线AB与x+y=1垂直，得k=1，由由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得到 x²+（2b-2p）x+b²=0，由此能求出实数p的取值范围．
法二：利用抛物线的参数方程，设点A、B的坐标分别为（2px₁²，2px₁），（2px₂²，2px₂），又二者关于直线x+y-1=0对称，则可列出等价方程，建立p的不等式．

解答 解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为抛物线上关于直线x+y=1对称的两点，
C（x₀，y₀）为AB的中点．设AB的直线方程为y=kx+b．
由直线AB与x+y=1垂直，得k=1…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，
得到 x²+（2b-2p）x+b²=0…（5分）
△=4p（p-2b）＞0，得p＞2b，①
∴x₁+x₂=2p-2b，x₁x₂=b²，
C（p-b，y₀）代入y=x+b中，得到C（p-b，p）
同时C又在x+y=1上得b=2p-1…②
由①②可得p＜$\frac{2}{3}$，
∵p＞0，∴0＜p＜$\frac{2}{3}$，
实数p的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$）．
解法二：设抛物线上两点A、B的坐标分别为（2px₁²，2px₁），（2px₂²，2px₂）且关于直线x+y-1=0对称，
则有$\left\{\begin{array}{l}{p（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）+p（{x}_{1}+{x}_{2}）=1}\\{\frac{2p（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2p（{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}）}=1}\end{array}\right.$，
由第二个方程可得x₁+x₂=1代入第一个方程，
得x₁²+x₂²=$\frac{1-p}{p}$＞0，故0＜p＜1．
又由$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{2}$＞$\frac{1}{2}$（xx₁+x₂），
得$\frac{1-p}{p}$＞$\frac{1}{2}$
即0＜p＜$\frac{2}{3}$为所求．
故选：D．

点评 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．