Question

16．已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2$\sqrt{2}$的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=$\frac{9}{2}$．（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C的准线为l，焦点为F，点P为直线m：x+y-2=0上的动点，且点P的横坐标为a，试讨论当a取不同的值时，圆心在抛物线C上，与直线l相切，且过点P的圆的个数．

Answer 1

分析 （1）直线AB的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入y²=2px可得8x²-10px+2p²=0，利用韦达定理及抛物线的定义、弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）设P（a，2-a），则过P与直线m：x+y-2=0垂直的直线方程为y=x+2-2a，与y²=4x联立，利用判别式，即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$
∴直线AB的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入y²=2px可得8x²-10px+2p²=0
∴x₁+x₂=$\frac{5}{4}$p，
由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=$\frac{9}{4}$p=$\frac{9}{2}$，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设P（a，2-a），则过P与直线m：x+y-2=0垂直的直线方程为y=x+2-2a，
与y²=4x联立，可得x²-4ax+4-8a+4a²=0，
∴△=16a²-4（4-8a+4a²）=32a-16，
∴△＞0，a＞$\frac{1}{2}$，满足条件的圆的个数是2个；△=0，a=$\frac{1}{2}$，满足条件的圆的个数是1个；△＜0，a＜$\frac{1}{2}$，满足条件的圆的个数是0个．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．