Question

6．M是抛物线x²=y上一点，N是不等式x+y-4≥0表示区域内的一点，O为原点，则|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|的最小值为$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OM′}$=-2$\overrightarrow{OM}$，求出M′的轨迹方程，|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM′}$|=|$\overrightarrow{M′N}$|，求出与直线x+y-4=0平行的直线方程，|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|的最小值为抛物线的切线与直线x+y-4=0之间的距离，即可得出结论．

解答 解：设M（x₀，y₀），则x₀²=y₀，
设$\overrightarrow{OM′}$=-2$\overrightarrow{OM}$，M′（x，y），则x₀=-$\frac{x}{2}$，y₀=-$\frac{y}{2}$，
代入可得x²=-2y，
∴|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM′}$|=|$\overrightarrow{M′N}$|，
设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+c=0，即y=-x-c，
代入x²=-2y，可得x²-2x-2c=0，△=4+8c=0，
∴c=-$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{ON}$+2$\overrightarrow{OM}$|的最小值为抛物线的切线与直线x+y-4=0之间的距离，即$\frac{|-4+\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$．
故答案为：$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，正确转化是关键．