Question

14．过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为45°的弦AB，则AB的弦长为8．

Answer 1

分析 根据抛物线解析式确定出焦点F坐标，根据直线AB倾斜角表示出直线AB方程，与抛物线解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，设方程的两根为x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数关系及根据抛物线的定义可知直线AB的长为：x₁+x₂+p，问退得以解决．

解答 解：由题意得：抛物线y²=4x的焦点F为（1，0），
∵直线AB倾斜角为45°，
∴直线AB的斜率为1，即方程为y=x-1，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
设方程的两根为x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=6，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为：x₁+x₂+p=6+2=8
故答案为：8．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用抛物线的定义求得问题的答案．