Question

3．设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，$|{BF}|=\frac{3}{2}$，则△BCF与△ACF的面积的比值为（　　）

• A． 1：4
• B． 1：5
• C． 1：6
• D． 1：7

Answer 1

分析 利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式借助|BF|=$\frac{3}{2}$求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BC与AC的长度之比，得到所需问题的解．

解答 解：∵抛物线方程y²=4x的焦点为F坐标为（1，0），准线方程为x=-1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|BF|=x₂+1=$\frac{3}{2}$，
∴x₂=$\frac{1}{2}$
把x₂=$\frac{1}{2}$代入抛物线y²=4x得y=±$\sqrt{2}$，不妨取y₂=-$\sqrt{2}$，即B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）为例进行研究
∴直线AB过点M（2，0）与B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）
方程为y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-2），代入抛物线方程，解得，x₁=8，
∴|AE|=8+1=9，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴△BCF与△ACF的面积的比值为=$\frac{|BC|}{|AC|}$=$\frac{|BN|}{|AE|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{9}$=$\frac{1}{6}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．