Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（i）若以MN为直径的圆过坐标原点O，求k的值；
（ii）若P（-1，2），求△MNP面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）（i）设出直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得x的方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用韦达定理，再由以MN为直径的圆过坐标原点O，可得OM⊥ON，即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，由M，N的坐标满足直线方程，代入化简，代入韦达定理，解方程可得k的值；
（ii）运用弦长公式可得|MN|，运用点到直线的距离公式，可得P到直线l的距离，运用三角形的面积公式化简整理，运用换元法，结合函数的单调性，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）（i）由左焦点（-1，0），可设直线l的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），即有x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由以MN为直径的圆过坐标原点O，可得OM⊥ON，
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0
即x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即为（1+k²）x₁x₂+k²+k²（x₁+x₂）=0，
代入韦达定理，可得（1+k²）（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+k²+k²•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
化简可得k²=2，解得k=±$\sqrt{2}$；
（ii）|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
P（-1，2）到直线l：y=k（x+1）的距离为d=$\frac{|-k+k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△MNP的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
设t=$\sqrt{1+{k}^{2}}$（t≥1），则k²=t²-1，
即有S=2$\sqrt{2}$•$\frac{t}{2{t}^{2}-1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2t-\frac{1}{t}}$，
由2t-$\frac{1}{t}$在[1，+∞）递增，可得t=1时，2t-$\frac{1}{t}$取得最小值1，
则当k=0时，△MNP面积取得最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，同时考查直径所对的圆周角为直角，以及向量数量积的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．