Question

3．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，在抛物线C上取一点A，过A分别向x轴和准线作垂线，垂足分别为M，N，连接AF并延长交抛物线于另一点B，若$\sqrt{5}$AM=2AN，则线段AB的长为（　　）

• A． 20
• B． 40
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 先求出过焦点的直线AB的斜率，再联立方程组，消元，根据根与系数的关系，求出x₁+x₂=3，再根据利用抛物线中焦点弦公式，即可求出AB的长．

解答 解：如图所示：在直角三角形AMF中，$\sqrt{5}$AM=2AN，
∴2MF=AM，
∴tan∠AFM=2，
∵点P（1，0），
∴直线AB的方程为y=2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
消掉y得到x²-3x+1=0，
∴x₁+x₂=3，
∴|AB|=x₁+x₂+p=3+1=4，
故选：D．

点评 本题给出直线与抛物线相交，着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．