Question

14．已知双曲线2x²-y²=1的左顶点为P，其渐近线与抛物线y²=-2px（p＞0）的准线交于A，B两点，若△APB为等腰直角三角形，则p=（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 2+$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线2x²-y²=1的左顶点为P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，抛物线y²=-2px（p＞0）的准线x=$\frac{p}{2}$，
利用△APB为等腰直角三角形，建立方程，即可求出p．

解答 解：双曲线2x²-y²=1的左顶点为P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，抛物线y²=-2px（p＞0）的准线x=$\frac{p}{2}$，代入y=±$\sqrt{2}$x，可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$p，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$p=$\frac{p}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴p=2+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线、抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．