Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$-alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数g（x）=x²+f（x）在区间（0，1）内有极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，求导数，确定切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论．利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）分类讨论，求导数，利用函数g（x）=x²+f（x）在区间（0，1）内有极值，求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，…（1分）
又f（1）=2，f′（1）=-1，…（2分）
∴曲线曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=-（x-1），
即x+y-3=0．．…．…（4分）
（Ⅱ）由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
又 f′（x）=-$\frac{ax+2}{{x}^{2}}$，…（5分）
（1）当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；  …（7分）
（2）当a＜0时，
由f′（x）＜0得，0＜x＜-$\frac{2}{a}$；由f′（x）＞0得，x＞-$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（0，-$\frac{2}{a}$）上单调递减，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上单调递增． …（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=x²+f（x），
∴g（x）的定义域为（0，+∞）．
∴g′（x）=$\frac{2{x}^{3}-ax-2}{{x}^{2}}$．  …（10分）
令h（x）=2x³-ax-2，x∈（0，+∞）．
∴h′（x）=6x²-a．
（1）当a＜0时，
∵h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在0，+∞）上单调递增，
又h（0）=-2＜0，h（1）=-a＞0，
∴h（x）在（0，1）内存在一个零点，也是g′（x）的零点．
∴g（x）在（0，1）内有极值；
（2）当a≥0时，
当0＜x＜1时，h（x）＜0，即g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（0，1）内无极值．
综上所述，若g（x）在（0，1）内有极值，则实数a的取值范围是（-∞，0）．…（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析及问题的能力，属于中档题．