Question

2．已知a、b、c＞1，且a+b+c=9．证明：$\sqrt{ab+bc+ca}$≤$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$．

Answer 1

分析 设a=$\frac{9{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，b=$\frac{9{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，c=$\frac{9{z}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，x+y+z=1，则原不等式即为x²+y²+z²≥9（x²y²+y²z²+z²x²），不妨设x≥y≥z，则$\frac{1}{3\sqrt{3}}$≤z≤$\frac{1}{3}$，令f（x，y，z）=x²+y²+z²-9（x²y²+y²z²+z²x²），证明大于等于0，运用分析法，即可得证．

解答 证明：设a=$\frac{9{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，b=$\frac{9{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，c=$\frac{9{z}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，x+y+z=1，
则原不等式即为x²+y²+z²≥9（x²y²+y²z²+z²x²），
由a≥1，9x²=a（x²+y²+z²）≥x²+y²+z²≥$\frac{（x+y+z）^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
即有x≥$\frac{1}{3\sqrt{3}}$，同理y≥$\frac{1}{3\sqrt{3}}$，z≥$\frac{1}{3\sqrt{3}}$，
不妨设x≥y≥z，则$\frac{1}{3\sqrt{3}}$≤z≤$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3}$≤$\frac{x+y}{2}$=$\frac{1-z}{2}$≤$\frac{3\sqrt{3}-1}{6\sqrt{3}}$，
令f（x，y，z）=x²+y²+z²-9（x²y²+y²z²+z²x²），
则f（x，y，z）-f（$\frac{x+y}{2}$，$\frac{x+y}{2}$，z）=$\frac{（x-y）^{2}}{2}$[1-9z²+$\frac{9}{8}$（x+y）²+$\frac{9}{2}$xy]≥0，
只需证t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{3\sqrt{3}-1}{6\sqrt{3}}$]，f（t，t，1-2t）≥0．
而f（t，t，1-2t）=2t²+（1-2t）²-9[t4+2t²（1-2t）²]
=（3t-1）²（1+2t-9t²）≥0?$\frac{1-\sqrt{10}}{9}$≤t≤$\frac{1+\sqrt{10}}{9}$．
故只需验证$\frac{3\sqrt{3}-1}{6\sqrt{3}}$＜$\frac{1+\sqrt{10}}{9}$．显然成立．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用换元法和柯西不等式，以及构造函数法，不等式的性质，考查推理和运算能力，属于难题．