Question

10．过抛物线x²=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$的最大值等于-16．

Answer 1

分析 如图所示，设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1．分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
由抛物线x²=4y可得焦点F（0，1）．
设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．
∵AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x²-4kx-4=0，
得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
同理可得x₃+x₄=-$\frac{4}{k}$，x₃x₄=-4．
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=-4（1+k²）．
同理可得$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=-4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=-4（2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≤-4（2+2$\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}$）=-16，当且仅当k=±1时取等号．
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$的最大值等于-16．
故答案为：-16．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．