Question

17．设正实数x，y，z，w满足2012x²=2013y²=2014z²=2015w²，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{w}$=1，试求$\sqrt{2012x+2013y+2014z+2015w}$的值．

Answer 1

分析 设2012x²=2013y²=2014z²=2015w²=A，得到$\sqrt{A}$=$\sqrt{2012}$+$\sqrt{2013}$+$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2015}$，2012x=$\frac{A}{x}$，2013y=$\frac{A}{y}$，2014z=$\frac{A}{z}$，2015w=$\frac{A}{w}$，将上式代入即可得出答案．

解答 解：设2012x²=2013y²=2014z²=2015w²=A，
∴2012x=$\frac{A}{x}$，2013y=$\frac{A}{y}$，2014z=$\frac{A}{z}$，2015w=$\frac{A}{w}$，
∴$\frac{\sqrt{2012}}{\sqrt{A}}$=$\frac{1}{x}$，$\frac{\sqrt{2013}}{\sqrt{A}}$=$\frac{1}{y}$，$\frac{\sqrt{2014}}{\sqrt{A}}$=$\frac{1}{z}$，$\frac{\sqrt{2015}}{\sqrt{A}}$=$\frac{1}{w}$，
∴$\frac{\sqrt{2012}}{\sqrt{A}}$+$\frac{\sqrt{2013}}{\sqrt{A}}$+$\frac{\sqrt{2014}}{\sqrt{A}}$+$\frac{\sqrt{2015}}{\sqrt{A}}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{w}$=1，
∴$\sqrt{A}$=$\sqrt{2012}$+$\sqrt{2013}$+$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2015}$，
∴2012x+2013y+2014z+2015w=$\frac{A}{x}$+$\frac{A}{y}$+$\frac{A}{z}$+$\frac{A}{w}$=A（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{w}$）=A，
∴$\sqrt{2012x+2013y+2014z+2015w}$=$\sqrt{A}$=$\sqrt{2012}$+$\sqrt{2013}$+$\sqrt{2014}$+$\sqrt{2015}$

点评 本题考查了二次根式的化简和求值，先将原式变形，是解此题的关键．