Question

9．设a，b，c都是正数，求证：a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

Answer 1

分析 由a，b，c都是正数，由$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2$\sqrt{c•\frac{{a}^{2}}{c}}$=2a，求出同样的其它的五个不等式，相加即可得到所求不等式．

解答 证明：a，b，c都是正数，
可得$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2$\sqrt{c•\frac{{a}^{2}}{c}}$=2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2$\sqrt{c•\frac{{b}^{2}}{c}}$=2b，
$\frac{{b}^{2}}{a}$+a≥2$\sqrt{a•\frac{{b}^{2}}{a}}$=2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{a}•a}$=2c，
$\frac{{c}^{2}}{b}$+b≥2$\sqrt{b•\frac{{c}^{2}}{b}}$=2c，$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2$\sqrt{b•\frac{{a}^{2}}{b}}$=2a，
相加，可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{b}$+2（a+b+c）≥4（a+b+c），
即有a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$，当且仅当a=b=c取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查推理能力，属于中档题．