Question

20．已知抛物线y²=2px（1＜p＜3）的焦点为F，抛物线上的点M（x₀，1）到准线的距离为$\frac{5}{4}$
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线MF与抛物线的另一交点为N，求$\frac{|MF|}{|NF|}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}}\\{2p{x}_{0}=1}\end{array}\right.$，解得即可求出p的值，写出抛物线的方程即可；
（2）先求出直线MF的方程为4x+3y-4=0，联立方程得方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x+3y-4=0}\end{array}\right.$，求出x，y的值，由由焦半径公式|MF|=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，|NF|=4+1=5，问题得以解决．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}}\\{2p{x}_{0}=1}\end{array}\right.$，消去x₀得2p²-5p+2=0，因为1＜p＜3，解得p=2，
所以x₀=$\frac{1}{4}$，所以抛物线标准方程为y²=4x．
（2）因为F（1，0），M（$\frac{1}{4}$，1），所以k_MF=-$\frac{4}{3}$，直线MF的方程为4x+3y-4=0，
联立方程得方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x+3y-4=0}\end{array}\right.$，消去x得y²+3y-4=0，解得y=-4或1，将y=-4代入y²=4x，解得x=4，
由焦半径公式|MF|=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，|NF|=4+1=5，
所以$\frac{|MF|}{|NF|}$=$\frac{\frac{5}{4}}{5}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，方程组的解法，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．