Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=sinB+cosB=$\sqrt{2}$，b=2，则角A的值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由已知求出角B，再由正弦定理求得sinA，结合三角形中的大边对大角求得角A．

解答 解：在△ABC中，由a=sinB+cosB=$\sqrt{2}$，得a=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}sin（B+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$，
∴sin（B+$\frac{π}{4}$）=1．
∵0＜B＜π，
∴$\frac{π}{4}＜B+\frac{π}{4}＜\frac{5}{4}π$，
则B+$\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{4}$．
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{2}{sin\frac{π}{4}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}$．
∵a＜b，
∴A=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，关键是注意三角形中的大边对大角，是中档题．