Question

4．已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=$\sqrt{6}$，∠BAC=60°，E为AC的中点；现将△ACD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC上的射影H落在BC上．

（1）求证：AB⊥平面BCD；
（2）求证：CD⊥平面ABD；
（3）求三棱锥D-ABE的体积．

Answer 1

分析 （1）由DH⊥平面ABC得DH⊥AB，又AB⊥BC，故而AB⊥平面BCD；
（2）由AB⊥平面BCD得AB⊥CD，又CD⊥AD，故而CD⊥平面ABD；
（3）连结EH，则可证明AC⊥EH，根据直角三角形的性质求出DE，AE，AB，EH，利用勾股定理计算DH，代入棱锥的体积公式求出体积．

解答 证明：（1）∵DH⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴DH⊥AB，
又AB⊥BC，BC?平面BCD，DH?平面BCD，BC∩DH=H，
∴AB⊥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，又AD⊥CD，AD?平面ABD，AB?平面ABD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD．
（3）∵AD=CD=$\sqrt{6}$，AD⊥CD，E是AC的中点，
∴DE⊥AC，AC=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{3}$，DE=CE=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，
∴AB=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，BC=3．
连结EH，
∵DH⊥AC，DH∩DE=D，
∴AC⊥平面DEH，∴AC⊥EH．
∴△CEH∽△CBA，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{CE}{BC}$，即$\frac{EH}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得EH=1．
∴DH=$\sqrt{D{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_D-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}•DH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin60°×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．