Question

9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，P为线段AD₁上的动点，
（1）当P为AD₁中点时，求证：PD⊥平面ABC₁D₁
（2）求证：无论P在何处，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值；并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）由正方形ADD₁A₁可得PD⊥AD₁，由AB⊥平面ADD₁A₁可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC₁D₁；
（2）三棱锥P-BDC₁的底面积为定值，由AD₁∥BC₁可知AD₁∥平面BDC₁，故P到平面BDC₁的距离为定值，当P与A重合时，求出三棱锥C₁-ABD的体积即可．

解答 证明：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，PD?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥PD．
∵AD=AA₁，∴四边形AA₁D₁D为正方形，P为对角线AD₁ 的中点，
∴PD⊥AD₁，
又∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴PD⊥平面ABC₁D₁．
（2）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD₁∥BC₁，BC₁?平面BDC₁，AD₁?平面BDC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁，
∵P为线段AD₁上的点，
∴点P到平面BDC₁的距离为定值．而三角形BDC₁的面积为定值，
∴三棱锥P-BDC₁的体积为定值，即三棱锥D-PBC₁的体积为定值．
V${\;}_{D-PB{C}_{1}}$=V${\;}_{P-BD{C}_{1}}$=V${\;}_{A-BD{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．